Dalla Fabbrica della Memoria dell’archivio Giovanni Ansaldo troviamo questi due interessanti fogli di calcolo vergati da Giovanni che Alfonso Farina e Marco Frasca ci aiutano a comprendere.

Questi fogli autografi rappresentano un interessante approccio alla risoluzione di un’equazione algebrica di quarto grado. Dal documento non si evince se la tecnica utilizzata, che prende spunto dal metodo di Lagrange, abbia avuto successo. Resta comunque un’evidenza dell’interesse di Giovanni Ansaldo per gli studi di matematica che insegnerà egli stesso quale professore di analisi infinitesimale all'Università di Genova.

Alfonso Farina e Marco Frasca ci accompagnano in questo viaggio tra equazioni algebriche, unità immaginarie e grandi matematici italiani fino ai fogli di calcolo del poliedrico Giovanni, che ha preceduto i grandi scienziati moderni i quali, oltre a fare scoperte scientifiche di rilievo, hanno poi fatto la grande industria.

Buona lettura

foglio calcolo1

Foglio di calcolo n. 1 di Giovanni Ansaldo (fronte e retro)

1.    Importanza teorico-pratica delle equazioni algebriche

Le equazioni algebriche costituiscono uno degli strumenti essenziali per le applicazioni tipiche dell’ingegneria. Basterebbe anche solo pensare alla teoria dei circuiti elettrici oppure ai problemi di filtraggio di uso frequente in applicazioni di tipo elettronico o elettrotecnico o ancora nel moto di un grave [1]. In effetti, l’idea di trovare un valore incognito, dati alcuni parametri noti, è ben più antico ed è certamente probabile che gli egizi, ad esempio, sapessero trattare le equazioni algebriche di secondo grado. Il grado di un’equazione algebrica è quello che caratterizza l’esponente dell’elevamento a potenza di valore più alto per l’incognita che compare nell’equazione stessa. Per cui, un’equazione di primo grado avrà l’incognita più altri parametri noti, una di secondo grado avrà l’incognita elevata alla seconda potenza (quadrato), eventualmente il termine di primo grado e parametri noti, e così via per i gradi superiori.

È importante sottolineare che opere di ingegneria sempre più complesse furono rese possibili proprio grazie al miglioramento delle conoscenze relative a certe equazioni algebriche così come anche certi calcoli finanziari.

Il successivo avvento del calcolo infinitesimale costituì poi un cambiamento rivoluzionario per le opportunità scientifiche e tecnologiche che vennero a crearsi.

2.    Eulero e l’unità immaginaria

I matematici che si trovarono a trattare problemi riguardo alle equazioni algebriche, pensiamo a Tartaglia (Figura 1) [2], Cardano [3] e altri che vedremo nel seguito, trovarono ben presto una difficoltà concettuale inattesa.

tartaglia

Figura 1 - Niccolò Tartaglia  (1499 circa – 1557)

È ben noto dalla matematica elementare che l’operazione di radice quadrata può solo essere effettuata su numeri positivi. Possiamo sempre calcolare oggetti come la radice quadrata di 144 o 25 e otteniamo un risultato altrettanto significativo. Quello che invece osservarono i matematici, impegnati nella risoluzione di equazioni algebriche, è che spesso occorrevano radici quadrate di numeri negativi e nessuno sapeva quale significato attribuire a questi oggetti. In principio, non sarebbero dovuti neanche esistere.

Fu ben presto compreso che questi erano dei nuovi numeri, caratterizzati da una nuova unità battezzata per l’appunto “immaginaria”. Questa corrisponde al numero 1 dei numeri a cui siamo abituati e indicata con la lettera i. La si trova spesso in letteratura scritta anche come  [4]. Un numero moltiplicato per questa unità è perciò detto “immaginario” anch’esso. Questo costituì l’inizio di una nuova matematica, quella dei numeri cosiddetti “complessi”, che trova vaste applicazioni in fisica ed ingegneria e alla quale sono collegati grandi nomi della matematica come Cauchy [5] ed Eulero (Figura 2) [6]. Eulero in particolare sviluppò alcune proprietà fondamentali dei numeri complessi e dedusse una delle più belle equazioni di sempre che contiene tutte le grandezze matematiche fondamentali [7]

formula

Il numero e è anche detto numero di Nepero [8], dal nome di colui che lo scoprì.

eulero

Figura 2- Leonhard Eulero (1707 – 1783).

Compare in tutte le applicazioni più importanti della matematica moderna così come π. È un modo di dire comune tra i fisici delle alte energie che, se manca π, molto probabilmente il calcolo non è corretto. Eulero, in particolare, trovò un collegamento profondo tra le funzioni della trigonometria, seno e coseno, e il numero di Nepero:

nmero nepero

Oggi, termini come questi vengono anche chiamati “fasori” da chi lavora in elettronica o elettrotecnica dove trovano vastissima applicazione.

3.    Il contributo dei matematici italiani: esistono soluzioni semplici per risolvere le equazioni algebriche?

Due ordini di problemi si posero con la scoperta di soluzioni di equazioni algebriche di grado più alto. Le formule risolutive mostravano che il numero di soluzioni coincideva con il grado dell’equazione stessa, a patto comunque di tener conto delle soluzioni complesse, determinate dall’unità immaginaria, che veniva perciò ad acquisire un ruolo sempre più importante in matematica. L’altro aspetto era sapere se, indipendemente dal grado, fosse sempre possibile fornire una soluzione in forma chiusa che usasse le quattro operazioni base dell’aritmetica e l’estrazione di radicali ossia, radici quadrate, cubiche e così via. Chiaramente, se questo era il caso, in principio sarebbe stato possibile trovare le soluzioni a qualsiasi equazioni algebrica, cosa che assunse un ruole di Sacro Graal per i matematici di fine ‘700 e inizio ‘800 dove le risposte infine emersero.

ruffini

Figura 3 - Paolo Ruffini (1765 – 1822)

Un risultato importante, anche se ottenuto in modo non rigoroso e quindi non accettato dai matematici dell’epoca, fu provato da Paolo Ruffini (Figura 3) [9]. Ruffini, matematico della provincia di Viterbo, diede una dimostrazione parziale del fatto che equazioni algebriche di grado superiore al quinto non ammettono soluzioni in termini di operazioni semplici. Egli utilizzo tecniche che furono poi riprese dai matematici negli anni successivi come la teoria dei gruppi di permutazione che vedremo parlando di Évariste Galois [10]. La dimostrazione fu completata da Niels Abel [11] nel 1824 e va oggi sotto il nome di Teorema di Abel-Ruffini [12]. È molto probabile che Giovanni Ansaldo fosse al corrente di tale risultato ma certamente non dell’approccio più moderno ed innovativo di Galois.

Riguardo al numero di soluzioni, per risolvere questo problema fu necessaria l’opera di uno dei più grandi matematici di sempre: Carl Friedrich Gauss [13].

4.    Teorema fondamentale dell’algebra di Carl Friedrich Gauss

Il teorema fondamentale dell’algebra esprime il fatto che il grado dell’equazione algebrica fornisce anche il numero di radici. Generalmente lo si esprime nel campo complesso dove si possono trovare delle dimostrazioni molto semplici.

La prima dimostrazione di questo teorema è dovuta a Carl Friedrich Gauss (Figura 4) [13] nel 1799. Gauss ed Eulero rappresentano i due più grandi matematici dell’epoca moderna e molti sono i risultati a loro attribuibili.

gauss

Figura 4 - Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Come vedremo nella prossima sezione, Giovanni Ansaldo cerca di determinare le 4 radici di un’equazione di quarto grado con un metodo sviluppato da un altro grande matematico: Joseph-Louis Lagrange [14]. Nato Giuseppe Luigi Lagrangia a Torino nel 1736, dal 1787, già all’apice della sua fama, si trasferì a Parigi dove visse fino alla morte.

5.    Il contributo di Giovanni Ansaldo

Nel foglio n.1 possiamo riconoscere diversi aspetti del calcolo e delle proprietà delle soluzioni di un’equazione di quarto grado. L’Ansaldo cerca di trovare una strada alternativa per la soluzione di tale equazione basandosi sul metodo di Lagrange usato per le equazioni di terzo grado. Ne cerca in pratica una generalizzazione.

Nella parte alta del foglio viene riportata la soluzione di un’equazione algebrica di 3° grado completa. La soluzione si ottiene con la ben nota formula di Cardano, come già detto, che qui è chiaramente esplicitata dall’Ansaldo per poi farne uso nel seguito del calcolo.

soluzione equazione

Nell’ultimo passaggio di questa prima parte del foglio n.1, Ansaldo riporta una proprietà dell’espressione algebrica della soluzione della cubica che però non utilizzerà nel prosieguo. La soluzione dell’equazione cubica è un passaggio obbligato per la soluzione dell’equazione di quarto grado.

Infatti, lo scopo dell’Ansaldo è derivare le soluzioni dell’equazione di quarto grado e di caratterizzarne le proprietà in maniera moderna per l’epoca. Ricordiamo che la soluzione di tale equazione fu ottenuta per la prima volta da Lodovico Ferrari [15], un allievo di Cardano, ma successivamente derivata nuovamente in modi diversi da Cartesio, Eulero, Lagrange ed altri. Ci si riduce comunque alla soluzione della cubica anche se, il modo in cui l’Ansaldo tratta le soluzioni ricorda da vicino, come detto, l’approccio di Lagrange poi esteso in maniera completamente originale da Évariste Galois.

Vediamo infatti che egli riscrive la quartica come di seguito.

quartica

Riconosciamo nelle prime due righe il passaggio algebrico che porta da una quartica cosiddetta “depressa”, ossia mancante del termine di grado 3°, ad una cubica e poi la corrispondente soluzione ottenuta tramite la formula che Ansaldo aveva riportato nella prima parte del foglio. Il passaggio dall’equazione algebrica di 4° grado alla sua forma cosiddetta depressa è standard per cui, ogniqualvolta si tratta la soluzione di tali equazioni, tale passaggio è praticamente scontato. È importante notare che, in questo caso, Ansaldo sta assumendo nota una soluzione che indica con  in questa parte del foglio.

Nella terza parte del foglio, Ansaldo introduce le radici quarte dell’unità radiciquadrate ,  e scrive un insieme di equazioni basate sulle proprietà delle soluzioni delle equazioni di quarto grado.

quarto grado

Egli ci definisce i nuovi elementi elementi attraverso i quali determinare la soluzione presunta nota  e di seguito tutte le altre. In questo modo originale, Ansaldo assume di poter determinare tutte le soluzioni dell’equazione algebrica di 4° grado. Questo approccio è simile a quello di Lagrange, che si generalizzerà poi nella teoria dei gruppi sviluppata da Galois, ma, in questo caso, l’idea è di utilizzare esplicitamente il fattore fattore

I passaggi chiave sono quindi forniti nella parte del foglio seguente:

foglio seguente

Vediamo introdotto il fattore , un numero complesso come già introdotto da Lagrange per l’equazione cubica[1], allo scopo di ottenere il risultato finale che è . Purtroppo, il calcolo si interrompe qui e non sappiamo se l’approccio sia mai stato portato a conclusione dall’Ansaldo con il calcolo dei restanti termini z.

Il retro del foglio non dà che un’equazione probabilmente correlata a quella cancellata in fondo al fronte del foglio. È comunque ancora la formula di Cardano per le cubiche.

 [1] Per la cubica Lagrange assume cubica  , nel caso della quartica l’Ansaldo non lo esplicita.

6.    Évariste Galois: non esistono soluzioni semplici per grado delle equazioni più grande di quattro

Évariste Galois (Figura 5) [10] rappresenta molto bene l’esempio dell’eroe romantico. Morì infatti all’età di 20 anni in un duello per una donna[2]. Nonostante ciò, ebbe modo di dare un contributo profondo alla matematica con i cosiddetti gruppi di Galois. Questa tecnica permette di provare che non esistono soluzioni di equazioni di grado maggiore al quarto esprimibili con le normali operazioni e l’estrazione di radice. Questo risultato che, come già detto era stato provato definitivamente da Abel nel 1824, poteva ora essere riottenuto in modo tale da aprire un campo completamente nuovo della matematica.

galois

Figura 5 - Evariste Galois (1811-1832)

Mentre era possibile che l’Ansaldo fosse al corrente della prova di Abel del teorema di Abel-Ruffini, certamente non poteva essere al corrente della dimostrazione di Galois. Va detto inoltre che Galois, a sua volta, poteva non essere al corrente della prova di Abel. In ogni caso, nei due approcci, quello di Galois ha avuto impatti enormi sugli sviluppi successivi della matematica. I lavori di Galois furono pubblicati diversi anni dopo la sua morte da Joseph Liouville [16] nel 1846 e fino ad allora restarono sconosciuti alla comunità dei matematici.

La teoria dei gruppi è anche basilare nella comprensione della fisica fondamentale e in quella dello stato condensato odierne [17],  lo stesso è vero per i codici per le forme d’onda radar [18] [19] [20]. Esiste un legame profondo in natura tra la teoria dei gruppi e le simmetrie.

7.    Conclusioni

Il foglio autografo di Giovanni Ansaldo, che abbiamo qui discusso, rappresenta un interessante approccio alla risoluzione di un’equazione algebrica di quarto grado. Dal documento non si evince se la tecnica utilizzata, che prende spunto dal metodo di Lagrange, abbia avuto successo. Resta comunque un’evidenza dell’interesse di Giovanni Ansaldo per gli studi di matematica fondamentale di cui lo stesso ha dato prova in altri documenti, anche in relazione alla sua attività accademica.

Per concludere l’articolo può essere interessante citare la “tecnologia del LEGO©” impiegata nei più vasti campi applicativi, educativi e ludici. La figura 6 che segue mostra una realizzazione LEGO© della famosa macchina di Babbage [21], precursore di calcolatori automatici per risolvere equazioni algebriche, nel caso dell’esempio, di secondo grado.

[2] Nella frase scritta la fratello Galois dice “Ne pleure pas, Alfred! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans!” ('Non piangere, Alfred! Ho bisogno di tutto il mio coraggio per morire a vent'anni! ').

 Macchina di Babbage

Figura 6 - Macchina di Babbage per la risoluzione di equazioni di secondo grado interamente realizzata con LEGO©

8.     Riferimenti bibliografici

 [1] D. Palladino, «Alcuni momenti significativi della storia delle equazioni algebriche,» Ulisse - nella rete della scienza, [Online]. Available: http://www.elettrotecnica.unina.it/files/assante/upload/Equazioni%20algebriche.pdf. [Consultato il giorno 19 Luglio 2021].
[2] Wikipedia, «Niccolò Tartaglia,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Tartaglia. [Consultato il giorno 10 Luglio 2021].
[3] Wikipedia, «Gerolamo Cardano,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano. [Consultato il giorno 10 Luglio 2021].
[4] P. J. Nahin, An imaginary tale: the story of the square root of -1, Princeton: Princeton University Press, 1998.
[5] Wikipedia, «Augustin-Louis Cauchy,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy. [Consultato il giorno 10 Luglio 2021].
[6] Wikipedia, «Eulero,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/Eulero. [Consultato il giorno 10 Luglio 2021].
[7] P. J. Nahin, Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills, Princeton: Princeton University Press, 2006.
[8] Wikipedia, «Nepero,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/Nepero. [Consultato il giorno 10 Luglio 2021].
[9] Wikipedia, «Paolo Ruffini,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/Paolo_Ruffini_(matematico). [Consultato il giorno 10 Luglio 2021].
[10] Wikipedia, «Évariste Galois,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois. [Consultato il giorno 10 Luglio 2021].
[11] Wikipedia, «Niels Henrik Abel,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel. [Consultato il giorno 10 Luglio 2021].
[12] Wikipedia, «Teorema di Abel-Ruffini,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Abel-Ruffini. [Consultato il giorno 10 Luglio 2021].
[13] Wikipedia, «Carl Friedrich Gauss,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss. [Consultato il giorno 10 Luglio 2021].
[14] Wikipedia, «Joseph-Louis Lagrange,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange. [Consultato il giorno 18 Luglio 2021].
[15] Wikipedia, «Lodovico Ferrari,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/Lodovico_Ferrari. [Consultato il giorno 18 Luglio 2021].
[16] Wikipedia, «Joseph Liouville,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville. [Consultato il giorno 18 Luglio 2021].
[17] W.-K. Tung, Group Theory in Physics, Singapore: World Scientific, 1985.
[18] S. W. Golomb, "Obtaining specified irreducible polynomials over finite fields," SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods, vol. 1, no. 4, pp. 411-418, 1980.
[19] S. W. Golomb, «Algebraic constructions for Costas arrays,» Journal of Combinatorial Theory A, vol. 37, n. 1, pp. 13-21, 1984.
[20] S. W. Golomb, «The T4 and G4 constructions for Costas arrays,» IEEE Transactions on Information Theory, vol. 38, n. 4, pp. 1404-1406, 1992.
[21] Wikipedia, «Macchina analitica,» [Online]. Available: https://it.wikipedia.org/wiki/Macchina_analitica. [Consultato il giorno 30 agosto 2021].